using TopOpt, LinearAlgebraHeat Sink: Thermal Compliance with Temperature BCs
Description
This tutorial demonstrates heat conduction topology optimization with multiple temperature boundary conditions. A distributed heat flux enters the top edge, while the left edge is held at T = 100 and the right edge at T = 0 (acting as heat-sink fins). The optimizer redistributes a fixed volume of high-conductivity material to dissipate heat most efficiently.
Unlike the simpler HeatTree benchmark, this problem has asymmetric temperature BCs on both sides, creating complex heat flow patterns that challenge the optimizer to find efficient conduction paths.
Setup
Define the Problem
nels = (60, 30) # mesh resolution (60×30 elements)
sizes = (1.0, 1.0) # element sizes
k = 1.0 # thermal conductivity
heatflux = Dict("top" => 100.0) # heat flux on top boundary (W/m²)
V = 0.5 # volume fraction constraint
# Tleft=100 and Tright=0 fix temperatures at left and right edges
# (heat-sink fins), while flux enters from the top
problem = HeatConductionProblem(
Val{:Linear}, nels, sizes, k;
Tleft=100.0, Tright=0.0, heatflux=heatflux
)
println("Created heat conduction problem with $(getncells(problem)) elements")The boundary conditions:
- Top edge: Distributed heat flux (100 W/m²)
- Left edge: Fixed temperature T = 100 (hot fin)
- Right edge: Fixed temperature T = 0 (cold fin)
- Bottom edge: Insulated
FEA Solver and Objective
solver = FEASolver(DirectSolver, problem; xmin=0.001)
comp = ThermalComplianceFun(solver)
vol = VolumeFun(solver; fraction=true)
filter = DensityFilterFun(solver; rmin=2.0)
f = x -> comp(filter(PseudoDensities(x)))
g = x -> [vol(filter(PseudoDensities(x))) - V]Thermal compliance J = QᵀT measures work done by boundary heat flux against the temperature field. Minimizing it drives heat toward both temperature boundaries efficiently.
Run Optimization
x0 = fill(V, length(solver.vars))
println("Starting topology optimization...")
println("VolumeFun constraint: $V")
println("Number of design variables: $(length(x0))")
println("Initial objective value (thermal compliance): $(f(x0))")
model = Model(f)
addvar!(model, zeros(length(x0)), ones(length(x0)))
add_ineq_constraint!(model, g)
alg = MMA87()
options = MMAOptions(; tol=Tolerance(; kkt=1e-4))
result = optimize(model, alg, x0; options=options)
println("\nOptimization complete!")
println("Final objective value (thermal compliance): $(result.minimum)")
println("Iterations: $(result.iter)")Starting topology optimization... VolumeFun constraint: 0.5 Number of design variables: 1800 Initial objective value (thermal compliance): 2.1481136086990926e7 [ Info: iter obj Δobj violation kkt_residual [ Info: 0 2.1e+07 Inf 0.0e+00 2.0e+05 [ Info: 1 1.9e+07 2.6e+06 0.0e+00 9.8e+05 [ Info: 2 1.7e+07 2.3e+06 0.0e+00 4.9e+05 [ Info: 3 1.5e+07 1.3e+06 0.0e+00 2.4e+05 [ Info: 4 1.5e+07 6.8e+05 0.0e+00 1.3e+05 [ Info: 5 1.4e+07 3.9e+05 0.0e+00 7.7e+04 [ Info: 6 1.4e+07 2.2e+05 0.0e+00 4.4e+04 [ Info: 7 1.4e+07 1.3e+05 0.0e+00 2.4e+04 [ Info: 8 1.4e+07 7.5e+04 0.0e+00 1.5e+04 [ Info: 9 1.4e+07 4.7e+04 0.0e+00 9.8e+03 [ Info: 10 1.4e+07 3.1e+04 0.0e+00 6.5e+03 [ Info: 11 1.4e+07 2.0e+04 0.0e+00 4.3e+03 [ Info: 12 1.4e+07 1.3e+04 0.0e+00 2.8e+03 [ Info: 13 1.4e+07 8.3e+03 0.0e+00 6.6e+03 [ Info: 14 1.4e+07 3.4e+03 0.0e+00 7.3e+03 [ Info: 15 1.4e+07 1.8e+04 0.0e+00 1.1e+04 [ Info: 16 1.4e+07 3.3e+04 0.0e+00 2.8e+04 [ Info: 17 1.4e+07 1.2e+05 0.0e+00 5.3e+04 [ Info: 18 1.4e+07 1.9e+05 0.0e+00 1.5e+05 [ Info: 19 1.4e+07 2.6e+05 0.0e+00 2.8e+05 [ Info: 20 1.5e+07 2.6e+05 0.0e+00 4.5e+05 [ Info: 21 1.5e+07 1.7e+05 0.0e+00 5.6e+05 [ Info: 22 1.5e+07 3.3e+02 0.0e+00 6.5e+05 [ Info: 23 1.5e+07 2.4e+05 0.0e+00 4.5e+05 [ Info: 24 1.4e+07 2.3e+05 0.0e+00 3.2e+05 [ Info: 25 1.4e+07 2.3e+05 0.0e+00 1.7e+05 [ Info: 26 1.4e+07 1.7e+05 0.0e+00 7.6e+04 [ Info: 27 1.4e+07 8.0e+04 0.0e+00 3.3e+04 [ Info: 28 1.4e+07 3.4e+04 0.0e+00 1.8e+04 [ Info: 29 1.4e+07 2.1e+04 0.0e+00 1.8e+04 [ Info: 30 1.4e+07 2.0e+04 0.0e+00 1.0e+04 [ Info: 31 1.4e+07 1.3e+04 0.0e+00 1.3e+04 [ Info: 32 1.4e+07 9.5e+03 0.0e+00 7.8e+03 [ Info: 33 1.4e+07 7.4e+03 0.0e+00 7.2e+03 [ Info: 34 1.4e+07 5.3e+03 0.0e+00 6.6e+03 [ Info: 35 1.4e+07 3.9e+03 0.0e+00 5.5e+03 [ Info: 36 1.4e+07 3.3e+03 0.0e+00 2.9e+03 [ Info: 37 1.4e+07 3.0e+03 0.0e+00 2.5e+03 [ Info: 38 1.4e+07 2.7e+03 0.0e+00 2.6e+03 [ Info: 39 1.4e+07 2.4e+03 0.0e+00 2.5e+03 [ Info: 40 1.4e+07 2.0e+03 0.0e+00 2.4e+03 [ Info: 41 1.4e+07 1.6e+03 0.0e+00 2.2e+03 [ Info: 42 1.4e+07 1.2e+03 0.0e+00 2.1e+03 [ Info: 43 1.4e+07 8.0e+02 0.0e+00 1.9e+03 [ Info: 44 1.4e+07 5.1e+02 0.0e+00 2.0e+03 [ Info: 45 1.4e+07 3.7e+02 0.0e+00 2.9e+03 [ Info: 46 1.4e+07 2.2e+02 0.0e+00 3.0e+03 [ Info: 47 1.4e+07 2.6e+02 0.0e+00 3.3e+03 [ Info: 48 1.4e+07 2.0e+02 0.0e+00 2.1e+03 [ Info: 49 1.4e+07 1.8e+02 0.0e+00 2.2e+03 [ Info: 50 1.4e+07 1.4e+02 0.0e+00 9.7e+02 [ Info: 51 1.4e+07 1.2e+02 0.0e+00 8.2e+02 [ Info: 52 1.4e+07 1.1e+02 0.0e+00 5.2e+02 [ Info: 53 1.4e+07 1.1e+02 0.0e+00 5.3e+02 [ Info: 54 1.4e+07 1.1e+02 0.0e+00 5.4e+02 [ Info: 55 1.4e+07 1.1e+02 0.0e+00 5.5e+02 [ Info: 56 1.4e+07 8.7e+01 0.0e+00 5.3e+02 [ Info: 57 1.4e+07 7.3e+01 0.0e+00 5.1e+02 [ Info: 58 1.4e+07 7.2e+01 0.0e+00 4.9e+02 [ Info: 59 1.4e+07 7.3e+01 0.0e+00 4.7e+02 [ Info: 60 1.4e+07 7.4e+01 0.0e+00 4.7e+02 [ Info: 61 1.4e+07 7.4e+01 0.0e+00 4.7e+02 [ Info: 62 1.4e+07 6.5e+01 0.0e+00 4.7e+02 [ Info: 63 1.4e+07 4.3e+01 0.0e+00 4.4e+02 [ Info: 64 1.4e+07 3.6e+01 0.0e+00 4.1e+02 [ Info: 65 1.4e+07 3.4e+01 0.0e+00 3.9e+02 [ Info: 66 1.4e+07 3.3e+01 0.0e+00 3.7e+02 [ Info: 67 1.4e+07 3.3e+01 0.0e+00 3.6e+02 [ Info: 68 1.4e+07 3.3e+01 0.0e+00 6.2e+02 [ Info: 69 1.4e+07 2.9e+01 0.0e+00 1.4e+03 [ Info: 70 1.4e+07 3.7e+01 0.0e+00 1.2e+03 [ Info: 71 1.4e+07 3.0e+01 0.0e+00 1.5e+03 [ Info: 72 1.4e+07 4.1e+01 0.0e+00 1.4e+03 [ Info: 73 1.4e+07 3.8e+01 0.0e+00 6.2e+02 [ Info: 74 1.4e+07 3.5e+01 0.0e+00 3.3e+02 [ Info: 75 1.4e+07 3.1e+01 0.0e+00 1.8e+02 [ Info: 76 1.4e+07 2.8e+01 0.0e+00 1.5e+02 [ Info: 77 1.4e+07 2.4e+01 0.0e+00 1.3e+02 [ Info: 78 1.4e+07 1.8e+01 0.0e+00 9.9e+01 [ Info: 79 1.4e+07 1.4e+01 0.0e+00 6.8e+01 [ Info: 80 1.4e+07 1.0e+01 0.0e+00 5.4e+01 [ Info: 81 1.4e+07 6.2e+00 0.0e+00 4.9e+01 [ Info: 82 1.4e+07 3.9e+00 0.0e+00 4.7e+01 [ Info: 83 1.4e+07 2.9e+00 0.0e+00 4.7e+01 [ Info: 84 1.4e+07 2.3e+00 0.0e+00 4.9e+01 [ Info: 85 1.4e+07 2.0e+00 0.0e+00 4.9e+01 [ Info: 86 1.4e+07 1.9e+00 0.0e+00 5.0e+01 [ Info: 87 1.4e+07 1.3e+00 0.0e+00 4.8e+01 [ Info: 88 1.4e+07 1.1e+00 0.0e+00 4.8e+01 [ Info: 89 1.4e+07 1.1e+00 0.0e+00 4.5e+01 [ Info: 90 1.4e+07 8.4e-01 0.0e+00 4.8e+01 [ Info: 91 1.4e+07 6.9e-01 0.0e+00 9.6e+01 [ Info: 92 1.4e+07 5.5e-01 0.0e+00 1.1e+02 [ Info: 93 1.4e+07 3.5e-01 0.0e+00 2.5e+02 [ Info: 94 1.4e+07 2.8e-02 0.0e+00 3.5e+02 [ Info: 95 1.4e+07 4.5e-01 0.0e+00 2.5e+02 [ Info: 96 1.4e+07 6.0e-01 0.0e+00 1.8e+02 [ Info: 97 1.4e+07 3.5e-01 0.0e+00 4.9e+01 [ Info: 98 1.4e+07 1.3e-01 0.0e+00 3.0e+01 [ Info: 99 1.4e+07 1.7e-01 0.0e+00 3.0e+01 [ Info: 100 1.4e+07 1.4e-01 0.0e+00 2.7e+01 [ Info: 101 1.4e+07 1.2e-01 0.0e+00 2.5e+01 [ Info: 102 1.4e+07 1.0e-01 0.0e+00 2.5e+01 [ Info: 103 1.4e+07 7.4e-02 0.0e+00 2.5e+01 [ Info: 104 1.4e+07 8.4e-02 0.0e+00 2.5e+01 [ Info: 105 1.4e+07 6.8e-02 0.0e+00 2.4e+01 [ Info: 106 1.4e+07 5.4e-02 0.0e+00 2.3e+01 [ Info: 107 1.4e+07 1.5e-01 0.0e+00 2.2e+01 [ Info: 108 1.4e+07 4.5e-02 0.0e+00 2.0e+01 [ Info: 109 1.4e+07 4.0e-02 0.0e+00 1.9e+01 [ Info: 110 1.4e+07 3.6e-02 0.0e+00 1.8e+01 [ Info: 111 1.4e+07 3.2e-02 0.0e+00 1.6e+01 [ Info: 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Final objective value (thermal compliance): 1.374271543194971e7 Iterations: 1000
Inspect Results
x_opt = result.minimizer
solver.vars .= x_opt
solver()
T_max = maximum(solver.u)
println("Maximum temperature: $T_max")
println("\nDesign statistics:")
println(" Maximum density: $(maximum(x_opt))")
println(" Minimum density: $(minimum(x_opt))")
println(" Mean density: $(sum(x_opt) / length(x_opt))")Maximum temperature: 3423.7790098990636
Design statistics:
Maximum density: 1.0
Minimum density: 0.0
Mean density: 0.5000402201534649Visualization
using CairoMakie
fig = visualize(problem; topology=result.minimizer)Precompiling packages... 6845.9 ms ✓ QuartoNotebookWorkerMakieExt (serial) 1 dependency successfully precompiled in 7 seconds Precompiling packages... 5702.2 ms ✓ QuartoNotebookWorkerCairoMakieExt (serial) 1 dependency successfully precompiled in 6 seconds
The optimal design shows branching conduction paths that efficiently distribute heat from the top flux to both the hot (left) and cold (right) temperature boundaries.